יום שלישי, 3 באפריל 2012

מה חקר המתמטיקאי שלי ? - לאונרד אוילר

גאומטריה :

אוילר לא פעל הרבה בתחום הגאומטריה. אף על פי כן הוא אחראי למספר חשובות לגאומטריה ובהן: משפט אוילר לגבי מעגל חוסם ומעגל חסום במשולש, גילה את תרומות קו-אוילר ואת תכונותיו, ועוד. מחקרו המתמטי של אוילר נגע גם בגאומטריה דיפרנציאלית. אוילר חקר רבות את התאוריה של משטחים והעקמומיות של משטחים, והגיע לתוצאות ניכרות. בין השאר הכליל את הנוסחה לעקמומיות בנקודה ממישור למשטח כלשהו במרחב. תוצאות לא מפורסמות רבות של אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית נתגלו מחדש באופן בלתי תלוי בידי גאוס.

לאונרד אוילר קובע כי המרחק \ d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: d^2 = R\cdot(R - 2r), כאשר \ R הוא רדיוס המעגל החוסם ו-\ rהוא רדיוס המעגל החסום.
מנוסחה זו נובע כי: R\ge 2r .


נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את ונאריך אותו כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המגש ב-D. ואז ID=r. על פי משפט תאלס זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL. לכן 2Rr = AI × BL. מתקיים
\angle BIL = \angle {A \over 2} + {\angle ABC \over 2} וכן
\angle IBL = \angle {ABC \over 2} + \angle CBL = \angle {ABC \over 2} + \angle {A \over 2} (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d2 = R(R − 2r. מש"ל.
פורסם על ידי ב-
תוויות: ,

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה

הירשם ל- תגובות לפרסום (Atom)